$ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + n - 2} - n \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + n - 2} + n}{\sqrt{n^2 + n - 2} + n} $ Ahora podemos expresar lo del numerador como una diferencia de cuadrados: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n - 2})^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + n - 2} + n} $ Simplificamos el cuadrado con la raíz: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n - 2 - n^2}{\sqrt{n^2 + n - 2} + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n - 2}{\sqrt{n^2 + n - 2} + n} $ Ahora nos quedó una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito" ¿Qué hacíamos en estos casos? Sacamos factor común "el que manda" ;) Acordate que primero arrancamos por la raíz: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n - 2}{\sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2})} + n} $ Distribuimos la raíz: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n - 2}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}} + n} $ Atenti acá por las dudas, no te olvides que $\sqrt{n^2} = |n|$. Pero en este caso, como sabemos que $n$ va a tomar valores positivos únicamente, entonces nos queda $\sqrt{n^2} = n$ Sacamos factor común $n$ arriba y abajo: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n (1 - \frac{2}{n})}{n(\sqrt{1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}} + 1)} $ Simplificamos las $n$ y tomamos límite: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}} + 1} = \frac{1 - 0}{\sqrt{1 + 0 - 0} + 1} = \frac{1}{2} $ ¡Listo! Ya tenemos la respuesta =) $ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2 + n - 2} - n = \frac{1}{2} $